Trigonometría en Python

Objetivo: presentar las funciones trigonométricas disponibles en el módulo math de Python.

La mejor manera de acercarse e ir conociendo la inmensa biblioteca estándar de Python es dividiéndola en pequeños bloques temáticos. En el artículo de hoy nos ocuparemos de un subconjunto muy específico: las funciones trigonométricas.

La primera aproximación a las matemáticas en Python es a través del módulo math, incluido directamente en la propia distribución. Más adelante hablaremos de extensiones de terceros como NumPy o SciPy que harán la delicia de matemáticos, físicos e ingenieros. No en vano, Python es cada vez más utilizado por la comunidad científica, que encuentra unidas toda la potencia del lenguaje junto a funcionalidad y herramientas que tradicionalmente sólo han estado disponibles adquiriendo costosos programas como Mathematica o Matlab.

Para disfrutar de todo lo que math nos ofrece debemos importarlo:

>>> import math

En el próximo artículo veremos otros estilos de importación, cada uno con sus ventajas e inconvenientes. Pero con esa simple instrucción tienes acceso ya a todo el espacio de nombres del módulo math, repleto de decenas de funciones entre las que se encuentran las que hoy trataremos.

Básicamente, necesitaremos poder calcular el seno, coseno y la tangente de un ángulo, así como sus funciones inversas (dada alguna de estas magnitudes, conocer a qué angulo se corresponden). Además, nos gustaría poder trabajar tanto en radianes como en grados, de modo que nos sería útil también poder disponer de las funciones de conversión adecuadas.

El seno, coseno y tangente de un ángulo los obtenemos con las funciones sin(), cos() y tan(), respectivamente:

>>> sin(0)
0.0
>>> cos(0)
1.0

Debes tener en cuenta que estas funciones esperan que el argumento se facilite en radianes, y no en grados. A tal efecto, te gustará saber que dispones de la siguiente constante:

>>> math.pi
3.141592653589793

de modo que podemos usar esa expresión en lugar del valor númérico:

>>> math.sin(math.pi/3)
0.8660254037844386
>>> math.cos(math.pi/3)
0.5000000000000001

No existe una función directa para la cosecante, secante y cotangente, pues no es necesario, ya que simplemente se trata de los recíprocos del seno, coseno y tangente, respectivamente.

Las funciones inversas, arcoseno, arcocoseno y arcotangente, se obtienen, respectivamente, con asin(), acos() y atan():

>>> math.atan(1)
0.7853981633974483

Del mismo modo que antes, el ángulo devuelto es en radianes también. Si queremos trabajar en grados deberemos efectuar la conversión con degrees(), que toma como argumento un ángulo en radianes y lo devuelve en grados:

>>> math.degrees(0.7853981633974483)
45.0

La operación contraria, el paso de grados a radianes, se obtiene con radians():

>>> math.radians(90)
1.5707963267948966

que es justamente \pi/2 radianes:

>>> math.pi/2
1.5707963267948966

Otra función útil de math nos permite conocer el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo dados sus catetos, ahorrándonos tener que calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estos:

>>> math.hypot(3, 4)
5.0

Para finalizar, vamos a diseñar nuestra propia función seno, que denominaremos sen() (a nuestra usanza) y aceptará directamente ángulos en grados.

import math

def sen(grados):
    return math.sin(math.radians(grados))

Ejecútalo y ya podrás hacer cosas como esta:

>>> sen(30)
0.49999999999999994

En definitiva, ½, tal como nos enseñaron en la escuela…

Javier Montero Gabarró


Trigonometría en Python


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta


Consulta el índice completo de artículos relacionados con Python.

Numeros decimales en LaTeX

Objetivo: aprender a escribir correctamente los números decimales en LaTeX.

Escribir números decimales en \LaTeX es una tarea simple, pero has de tener en cuenta ciertas consideraciones importantes.

En primer lugar, debes saber que los números, cuando no formen parte de una expresión algebraica, puedes escribirlos tanto en modo texto como en modo matemático. No obstante, aunque no estén dentro de una fórmula, mi recomendación es que emplees siempre el modo matemático, particularmente cuando tengas que escribir decimales, ya que la presentación puede ser diferente en un modo u otro.

Los siguientes ejemplos ilustran esto con claridad. Escribiremos el número 0,25 empleando como separador el punto, la coma y la comilla y lo haremos tanto en modo texto como en modo matemático:

\documentclass{article}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\begin{document}
Ej 1: Un cuarto es 0.25 de toda la vida.

Ej 2: Un cuarto es $0.25$ de toda la vida.

Ej 3: Un cuarto es 0,25 de toda la vida.

Ej 4: Un cuarto es $0,25$ de toda la vida.

Ej 5: Un cuarto es $0{,}25$ de toda la vida.

Ej 6: Un cuarto es 0'25 de toda la vida.

Ej 7: Un cuarto es $0'25$ de toda la vida.

\end{document}

Esta es la visualización final:

latex-decimales

En los ejemplos 1 y 2 hemos empleado un punto como separador decimal. Observa que en el modo matemático el resultado ha sido cambiado por una coma. Explicaremos este comportamiento en breve.

En los ejemplos 3 y 4 utilizamos la coma como separador decimal. No obstante, en el modo matemático aparece un pequeño e indeseable espacio en blanco adicional. Esto es así porque, en verdad, la coma no está pensada en modo matemático como indicador de decimales, sino como simple signo de puntuación.

Para poder deshacernos de ese incómodo espacio, sería preciso rodear la coma entre llaves, tal como puedes apreciar en el código fuente del ejemplo 5.

Finalmente, en los ejemplos 6 y 7 hemos empleado una comilla como separador, Nuevamente, la presentación es diferente en el modo matemático (la típica “prima”) y en el modo texto.

Para evitar esta disparidad entre ambas presentaciones, mi recomendación es que emplees siempre el modo matemático cuando tengas que tratar con números decimales aunque no formen parte de una fórmula.

Lo siguiente que debes tener presente es que, en nuestro idioma, solemos utilizar como separador decimal tanto el punto como la coma. El apóstrofe no suele usarse más que en la escritura a mano.

No voy a entrar a discutir sobre si es mejor utilizar la coma que el punto. Por encima de normas y recomendaciones, lo cierto es que en la literatura científica en nuestro idioma encontrarás ambos tipos de usos. Emplea el que te resulte preferido, pero hazlo consistentemente.

Y ahora el truco importante: para escribir decimales en \LaTeX, utiliza siempre como separador el punto en el código fuente (a pesar de que prefieras usar la coma). Si vuelves a observar el ejemplo 2, aunque en el código fuente está escrito un punto decimal en modo matemático, la presentación final es una coma como separador. Es más, de este modo no aparece el espacio en blanco anexo, por lo que te ahorras el uso de las llaves rodeando el símbolo.

Pero, si hemos dicho que tanto el punto como la coma son de uso común en nuestro idioma, ¿cómo hacemos para que el punto decimal se muestre como un punto en lugar de una coma?

El responsable de ese cambio del punto en el código fuente por la coma en la presentación es el paquete babel que hemos incluido en el preámbulo. Ya sabes que ese paquete se ocupa de facilitar nuestra experiencia \LaTeX en español, adaptando a nuestro idioma elementos como los títulos, la división de las palabras en guiones, etcétera.

Si, pese a que \LaTeX, con su paquete babel, sobreentiende que te gustan las comas decimales, prefieres usar el punto decimal, hay un modo sencillo de hacerlo empleando el siguiente comando:

\spanishdecimal{.}

Entre llaves facilitamos el símbolo que actuará como separador decimal: el punto.

Observa el siguiente ejemplo de uso:

\documentclass{article}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\spanishdecimal{.}
\begin{document}
Ej 8: Un cuarto es $0.25$ de toda la vida.
\end{document}

Aprecia, en la presentación final, que el punto aparece ahora como tal, en vez de la coma:

latex-decimales-2

Para finalizar, un resumen de lo más destacable:

1) Escribe números decimales desde el modo matemático.

2) Utiliza siempre el punto como separador decimal en el código fuente (lo que generará una coma en la presentación).

3) Si prefieres que el separador sea un punto, utiliza el comando \spanishdecimal{.}

Javier Montero Gabarró


Numeros decimales en LaTeX


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta


Índice completo de artículos relacionados con \LaTeX.

Cálculo de la frecuencia de nuestras notas musicales

Objetivo: entender las matemáticas que hay detrás de un sistema con temperamento igual y aprender a calcular la frecuencia de las notas musicales.

La música y las matemáticas han estado siempre íntimamente ligadas. Conocer la evolución de la concepción musical a lo largo de los siglos, hasta alcanzar el sistema de doce notas con temperamento igual que empleamos en el mundo occidental, es una apasionante aventura, no sólo en sus vertientes musical y matemática, sino también desde las perspectivas cultural, física, técnica y artesanal.

En el artículo de hoy explicaremos qué entiende un matemático por sistema igualmente temperado, conocimiento que nos permitirá calcular con facilidad la frecuencia de cualquier nota de nuestro sistema musical.

A estas alturas del cuento supongo que ya sabrás que nuestro sistema musical tiene doce notas, y no siete. Si no lo tienes claro, echa un vistazo a cualquier imagen de un piano y presta atención a esas teclas negras situadas estratégicamente entre las blancas.

También supongo que sabes que ese patrón de doce notas vuelve a repetirse, encontrando las mismas notas, una octava más agudas a la derecha o más graves a la izquierda. Y que la frecuencia de una nota una octava más aguda que otra es exactamente el doble de esta. Por ejemplo, si tenemos un LA a 440 Hz, el siguiente LA más agudo estará exactamente a una frecuencia de 880 Hz, mientras que el anterior, más grave, se situará en la mitad, 220 Hz.

Esta proporción 2:1 es la única que necesitamos para proseguir con los cálculos que realizaremos a continuación.

He dibujado un piano especial en el que he indicado la frecuencia de unos cuantas notas LA. Es un piano peculiar porque me he permitido poner al mismo nivel las teclas blancas y las negras, de modo que resulte más visual lo que pretendo explicar. He empleado la notación anglosajona a la hora de designar las notas porque me resultaba más cómodo en el gráfico, al ocupar menos espacio.

En vez de ser una visión típica con octavas de DO a DO, he marcado las notas LA como referencia visual, ya que conocemos la frecuencia de una de ellas: la nota LA por encima del DO central tiene una frecuencia exacta de 440 Hz, el sonido de referencia recomendado internacionalmente para la afinación de los instrumentos.

He denominado a esta nota A4 (LA 4), aunque quizás puedas preferir llamarla A3, si eres partidario del sistema franco-belga. Es simplemente una cuestión de elección personal.

Como ya sabemos la relación 2:1 entre octavas, he marcado también las notas A5 y A6, más agudas, y A3, más grave, con sus respectivas frecuencias, inmediatamente calculables multiplicando o dividiendo entre dos.

He colocado también, más pequeñas y en lápiz, el resto de las notas musicales entre A3 y A4. No lo he hecho en las demás octavas para no emborronar demasiado el gráfico.

Imagina que ese dibujo representa un eje de coordenadas en el que se representa la frecuencia de cada nota musical.

¿Es lineal esa representación? Obviamente, no. Si te fijas, la separación entre el A3 y el A4 es de 220 Hz, mientras que entre el A4 y el A5 es del doble, 440 Hz. A su vez, entre A5 y A6 nuevamente el doble, 880 Hz. Sin embargo, sobre el papel, hay la misma distancia entre A3 y A4, que entre A4 y A5 o A5 y A6.

Este tipo de series en las que no hay linealidad, sino proporción constante, se denominan, en matemáticas, progresiones geométricas. Para reducirlas al plano lineal recurrimos a los logaritmos. Gracias a ellos podemos representar linealmente magnitudes que varían exponencialmente. La imagen de las notas uniformemente espaciadas a lo largo de un piano no es más que una visión logarítmica de esta progresión geométrica.

Y lo bueno del asunto, y verdadera clave para comprender lo que es un sistema de temperamento igual, es que la frecuencia de cada una de esas 12 subdivisiones que hay entre medias, correspondientes a cada nota musical, también sigue una representación logarítmica.

Desde el punto de vista matemático, decir que un sistema de doce notas tiene temperamento igual no es otra cosa sino decir que la proporción entre una nota cualquiera y la siguiente (un semitono más alta) es siempre constante.

Hay un factor multiplicativo constante. Si somos capaces de descubrir ese número mágico estaremos en condiciones de poder calcular la frecuencia de cualquier nota.

Calculemos el número que sostiene a nuestro preciado sistema musical. Si A4 es 440 Hz, la siguiente nota, un semitono más alta, LA sostenido (o Si bemol, según prefieras), tendrá por frecuencia:

A su vez, la frecuencia de la nota siguiente, SI, será:

Después de B4 comienza la siguiente octava con C5:

Y así hasta llegar a A5, una octava más alta, doce semitonos, que A4:

Ahora bien, la frecuencia de A5 ya la conocemos, 880 Hz, doble de 440 Hz:

con lo que

Ya tenemos la razón buscada:

Podemos determinar la frecuencia de cualquier nota si conocemos la distancia d en semitonos que la separa de A4:

No es necesario referenciar siempre contra A4; nos sirve cualquier frecuencia conocida, siendo d, en este caso, la distancia en semitonos entre la buscada y la conocida:

Realicemos un ejercicio práctico. Vamos a calcular la frecuencia de MI 5, a una quinta justa por encima de A4. Si contamos, la separación en semitonos entre ambas notas es 7, de modo que:

¿Cuál es la frecuencia del DO central, que se halla nueve semitonos a la izquierda del LA 4? Es un ejemplo en el que d es una distancia negativa.

También podríamos haber resuelto este problema tomando como referencia A3 (220 Hz) y contando tres semitonos hacia delante:

Como vemos, el resultado es el mismo en ambos casos.

Visitaremos en más ocasiones el lado matemático de la música. ¿Sabías que algo que damos por obvio como que Do sostenido tiene la misma frecuencia que Re bemol, es debido a naturaleza igualmente temperada de nuestro sistema musical?

Te dejo pensándolo…

Javier Montero Gabarró


Cálculo de la frecuencia de nuestras notas musicales


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta


Índice completo de artículos sobre armonía.

LaTeX – Capítulo 30: Límites de funciones y sucesiones

Objetivo: aprender los rudimentos para la escritura en \LaTeX de fórmulas matemáticas relacionadas con los límites de funciones y sucesiones.

Observa el siguiente límite de una función de una variable:

¿Cómo generamos esa salida en \LaTeX?

Existen elementos desconocidos hasta ahora: ¿cómo hacemos para que aparezca el “x tiende a 5” debajo de lim? ¿Cómo dibujamos la flecha del “tiende a”?

El comando en \LaTeX para escribir límites es \lim. Lo que figura en la parte inferior se indica empleando la notación de subíndices. Ya te avisé de que emplearíamos los subíndices y superíndices para otros usos aparte del obvio. La notación de límites es un ejemplo de esa multifuncionalidad.

Finalmente, para escribir la flecha del “tiende a” recurrimos a otro comando de \LaTeX: \to.

Ya podemos componer la fórmula:

\[
\lim_{x \to 5}(x+3)=8
\]

Vamos a complicarlo un poquito más. Considera el límite de la siguiente sucesión:

Salvo por los símbolos de infinito, el resto ya es pan comido.

Como siempre, \LaTeX tiene un comando para todo. La escritura del símbolo de infinito se genera con \infty:

\[
\lim_{n \to \infty}(n^{2}+n+1)=+\infty
\]

Y ahora la prueba de fuego: ¿serías capaz de generar en \LaTeX la definición del número e?

Si lo consigues es señal de que vas al día con los artículos publicados hasta ahora, pues además de lo explicado hoy se manejan conceptos como la potenciación, las fracciones, o el uso de paréntesis que adaptan su tamaño a la expresión que contienen.

Solución:

\[
e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
\]

Javier Montero Gabarró


http://elclubdelautodidacta.es/wp/2012/06/latex-capitulo-30-limites-de-funciones-y-sucesiones/


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta


Índice completo de artículos relacionados con \LaTeX.

LaTeX – Capítulo 26: Radicales

Vamos a dar hoy un impulso radical al modo matemático de LaTeX…

Generar radicales es algo tremendamente sencillo empleando el comando \sqrt, al que le facilitaremos dos argumentos: el índice y el radicando. El índice es opcional; cuando no se indica se supone que estamos haciendo una raíz cuadrada. El radicando, lo “de dentro” de la raíz, es obligatorio.

Ya sabes que los argumentos obligatorios se indican en LaTeX entre llaves {}, mientras que los opcionales van entre corchetes [].

De este modo, la sintaxis del comando de radicación es:

\sqrt[indice]{radicando}

No olvides que los argumentos opcionales se escriben antes que los obligatorios.

Veamos algunos ejemplos:

  \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}

\[
\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}
\]

Fíjate cómo he usado el comando \cdot para indicar un punto de multiplicación centrado.

  \sqrt[3]{x^{5}}=x\sqrt[3]{x^{2}}

\[
\sqrt[3]{x^{5}}=x\sqrt[3]{x^{2}}
\]

Aquí hemos combinado las técnicas de radicación con las de potenciación.

El comando \sqrt tiene la bondad de saber adaptar el tamaño de la raíz al contexto adecuado, haciendo que su tamaño se muestre correctamente en función del radicando. Obsérvalo en este otro ejemplo:

  f(x,y)=\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}

\[
f(x,y)=\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}
\]

Tremendamente fácil y radical

Javier Montero Gabarró


http://elclubdelautodidacta.es/wp/2012/04/latex-capitulo-26-radicales/


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta

LaTeX – Capítulo 25: Paréntesis matemáticos

Vamos a dedicar la entrada de hoy a aprender a manejar correctamente los paréntesis en el modo matemático.

Ya hemos ilustrado el uso de paréntesis en algunos ejemplos: basta con utilizar los símbolos habituales de apertura y cierre. No obstante, esto no sirve siempre:

Veamos, por ejemplo, la salida de estas instrucciones:

\[
(\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})=\frac{7}{6}
\]

  (\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})=\frac{7}{3}

Los símbolos de apertura y cierre hacen lo posible hasta un cierto límite. En el ejemplo, en el que la construcción es de varias alturas, se quedan ridículamente cortos.

Todo está pensado, no te preocupes: existen unos comandos especiales en LaTeX para generar paréntesis inteligentemente altos. Son inteligentes en el sentido de que se dimensionan adecuadamente al tamaño que la construcción matemática requiera.

Para abrir un paréntesis grande dispones del comando

\left(

(sí, left seguido del paréntesis normal de apertura; left hace mención a que es el paréntesis izquierdo, el de apertura)

Para cerrar, como se puede deducir fácilmente,

\right)

(esto es, right seguido del paréntesis de cierre)

Sustituyendo los paréntesis normales por \left( y \right), en la expresión anterior, obtenemos:

\[
\left(\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\right)=\frac{7}{3}
\]

  \left(\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\right)=\frac{7}{3}

Esto ya tiene mejor pinta, ¿verdad?

Una técnica más para la saca. Si haces inventario, te darás cuenta de que ya hay muchas cosas que sabes hacer en el modo matemático de LaTeX. Pero aún falta muchísimo por aprender y será un placer sumergirnos en los distintos campos de las matemáticas, aunque sólo sea para aprender a escribir con elegancia y rapidez sus fórmulas.

Javier Montero Gabarró


http://elclubdelautodidacta.es/wp/2012/04/latex-capitulo-25-parentesis-matematicos/


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta

La magia de los números

A lo largo de los años he ido aprendiendo numerosos “trucos” en los que los números han sido los grandes protagonistas. De todos ellos hay uno en particular, que aprendí cuando era un niño pequeño, que es mi gran favorito. Quiero compartirlo hoy contigo.

Toma una hoja de papel y escribe en ella el número que se forma juntando todas las cifras del uno al nueve, pero saltándote el ocho. Es decir, escribe

12345679

Parece caprichoso saltarse el número ocho, pero gracias a eso surge este fabuloso truco.

Ahora elige una cifra cualquiera entre el uno y el nueve (incluido el ocho, si quieres).

Vamos a hacer algo mágico ahora. Vas a multiplicar el número que apuntaste al principio, 12345679, por otro que te voy a decir, de tal modo que el resultado de la multiplicación sólo contenga la cifra que has elegido.

El número por el que quiero que multipliques 12345679 es nueve veces la cifra elegida.

Por ejemplo, si has optado por un seis, deberás multiplicarlo por 54. Si has elegido el 8, tendrás que multiplicar por 72.

Sé que tu impulso será coger el ordenador o el móvil y realizar la operación (lamentablemente se está perdiendo la capacidad de cálculo por falta de uso), pero el efecto es más asombroso cuando uno se lo pica a mano.

Realiza la operación (con cuidado si has optado por hacerla a mano). ¿No es sorprendente el resultado?

Todo truco, y los matemáticos no iban ser menos, tiene su ciencia. ¿Serías capaz de descubrir la que hay detrás de este?

Javier Montero Gabarró


http://elclubdelautodidacta.es/wp/2012/04/la-magia-de-los-numeros/


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta

LaTeX – Capítulo 24: Subíndices y superíndices

Estamos ante otro capítulo imprescindible para la formulación matemática en LaTeX. Aprender la técnica de los subíndices y superíndices nos acercará inmediatamente a otras construcciones que emplean la misma metodología, como son las potencias, los límites, las integrales definidas o los sumatorios.

Pero vayamos por partes…

Para construir un subíndice utilizamos un símbolo reservado que sólo se utiliza en el modo matemático: el guión de subrayado, guión bajo, o underscore (_). Lo que escribamos a su lado, rodeado entre llaves, será el subíndice.

Por ejemplo, para generar

  x_{1}+x_{2}=0

debemos introducir el siguiente código en LaTeX:

\[
x_{1}+x_{2}=0
\]

Para lograr esto otro, en el que los subíndices constan de varias cifras,

  x_{ab}+x_{12}=0

el código a emplear sería este:

\[
x_{ab}+x_{12}=0
\]

Lo importante es que recuerdes que todo lo que quieras que forme parte del subíndice ha de figurar entre llaves.

Las llaves son opcionales en el caso de que el subíndice conste de una sola cifra o letra. Así, el primer ejemplo también podría crearse a partir de

\[
x_1+x_2=0
\]

No obstante, no está mal que cojas el hábito de utilizarlas siempre para prevenir errores.

Los superíndices se tratan de modo semejante a los subíndices, pero esta vez el símbolo que los define es la caperuza, el gorrito, el caret, (^). Nuevamente, se trata de un carácter reservado que sólo cobra sentido estando en modo matemático.

El primer uso inmediato de los superíndices es para escribir potencias:

  x^{2}+y^{2}=r^{2}

que es la ecuación de una circunferencia de radio r y centro el origen de coordenadas.

Su generación en LaTeX es bien simple, entonces:

\[
x^{2}+y^{2}=r^{2}
\]

Nuevamente, en el caso de que el superíndice conste de una única cifra las llaves podrían omitirse.

Otro ejemplo: de todos es conocida la siguiente igualdad

  (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}

algo que en LaTeX se escribiría como

\[
(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}
\]

Combinemos ahora subíndices con superíndices:

  (x_{1}+x_{2})^2=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}

No tiene mucha ciencia, simplemente se trata de ser cuidadoso y metódico:

\[
(x_{1}+x_{2})^2=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}
\]

Para finalizar, te dije hace unos párrafos que el uso del guión bajo y la caperuza está prohibido en modo texto. Entonces, si necesitáramos escribirlos, ¿cómo lo haríamos?

Si no sabes la respuesta es que te has saltado los capítulos anteriores, particularmente el que versa sobre los caracteres prohibidos.

No hace falta que te remitas a él si no te acuerdas: basta con que precedas esos símbolos con el símbolo de comando: \_ y \^

Ahora ya sabes por qué están reservados: tienen la importante misión de gestionar los subíndices y superíndices, respectivamente. Y, derivados de ellos, como veremos pronto, los límites, las integrales y otros usos suculentos más.

Javier Montero Gabarró


http://elclubdelautodidacta.es/wp/2012/04/latex-capitulo-24-subindices-y-superindices/


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta

LaTeX – Capítulo 23: Fracciones matemáticas

En el último artículo vimos cómo introducir aritmética elemental en \LaTeX. Hoy te mostraré el modo de representar fracciones.

¿Qué tal escribir algo como esto?

  \frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{3+5}{5 \cdot 3}=\frac{8}{15}

Es muy sencillo… Te presento al comando \frac, especializado en la creación de quebrados.

Toda fracción se compone de dos elementos: el numerador y el denominador. El comando \frac requiere dos argumentos: el primero contiene al numerador y el segundo al denominador.

Su sintaxis es la siguiente:

\frac{numerador}{denominador}

Recuerda que en LaTeX los parámetros obligatorios se rodeaban por llaves {}, mientras que los opcionales figuraban entre corchetes []. \frac espera dos argumentos obligatorios.

No te olvides tampoco de que este comando sólo tendrá sentido dentro del modo matemático, bien sea inline o independiente. No obstante, ten en cuenta que las fracciones no suelen visualizarse adecuadamente inline, pues ocupan mucho espacio, y es preferible mostrarlas en párrafos independientes.

Una fracción como esta,

  \frac{a}{b}

se genera en LaTeX del siguiente modo:

\[
\frac{a}{b}
\]

La suma de fracciones del principio no debe mostrarte mayor problema:

\[
\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{3+5}{5 \cdot 3}=\frac{8}{15}
\]

Fíjate en el empleo del comando \cdot, dentro de las llaves de \frac para representar el punto de multiplicación que vimos en la entrega anterior. Esto es algo a lo que debes acostumbrarte: dentro de los argumentos de cualquier comando LaTeX pueden existir, a su vez, otros comandos.

Esto ya empieza a ponerse interesante…

Javier Montero Gabarró


LaTeX – Capítulo 23: Fracciones matemáticas


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta

LaTeX – Capítulo 22: Aritmética básica

Una vez hemos visto cómo entrar en el modo matemático, estamos preparados para introducir ya notación propiamente dicha. Lo haremos muy gradualmente, presentando los distintos elementos matemáticos en pequeñas dosis prácticas.

Todo comienza con las operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división.

2+3=5

Una verdad como pocas…

Para generar esto en LaTex introducimos la expresión así, tal cual:

\[
  2+3=5
\]

El uso de espacios en blanco en la expresión no contribuye a nada: LaTeX los elimina completamente y decide cuál ha de ser la presentación correcta. Este código tan espaciado no cambiaría en absoluto la forma del resultado:

\[
  x   +y =          z
\]

x+y=z

Veamos ahora el operador de resta y el signo negativo:

2-3=-1

\[
  2-3=-1
\]

El signo de multiplicación puede representarse de dos formas: mediante una equis o un punto. Para obtener estos símbolos disponemos de dos comandos: \times y \cdot, respectivamente. En inglés “tres por 2” se dice three times two; punto es dot, y cdot viene de centered dot, “punto centrado”.

2 \times 3=6

\[
  2 \times 3 = 6
\]

x \cdot y = z

\[
  x \cdot y = z
\]

Después del nombre de un comando, como \cdot, sí que es necesario introducir un espacio en blanco. De lo contrario, LaTeX se pensaría que el comando es \cdoty y se produciría un error. Sin embargo, el siguiente código funcionaría bien:

\[
  2 \cdot3 = 6
\]

Esto es así porque un comando no puede terminar con un número. El último carácter alfabético determinaría el final del comando y no habría problema en su distinción.

Tenemos varias formas de realizar la división:

6/3=2

\[
  6/3=2
\]

o mediante los dos puntos:

6:3=2

\[
  6:3=2
\]

o, de un modo más elegante, con el comando \div:

6 \div 3=2

\[
   6 \div 3=2
\]

En la próxima entrega aprenderemos a introducir fracciones, no tengas prisa…

Los paréntesis se escriben tal cual, abriéndolos y cerrándolos tal como los encontramos:

x(y+z)=xy+xz

\[
  x(y+z)=xy+xz
\]

(a+b) \cdot (c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d

\[
  (a+b) \cdot (c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d
\]

Hay veces en las que necesitaremos emplear paréntesis más altos (por ejemplo, para contener fracciones). Veremos más adelante cómo insertar paréntesis que se adapten perfectamente a su contenido.

Nada más por hoy. Practica esta aritmética básica; coloca bien esta pequeña pieza del puzzle para que las demás encajen con facilidad.

Javier Montero Gabarró


http://elclubdelautodidacta.es/wp/2012/03/latex-capitulo-22-aritmetica-basica/


El texto de este artículo se encuentra sometido a una licencia Creative Commons del tipo CC-BY-NC-ND (reconocimiento, no comercial, sin obra derivada, 3.0 unported)


El Club del Autodidacta