Objetivo: entender las matemáticas que hay detrás de un sistema con temperamento igual y aprender a calcular la frecuencia de las notas musicales.
La música y las matemáticas han estado siempre íntimamente ligadas. Conocer la evolución de la concepción musical a lo largo de los siglos, hasta alcanzar el sistema de doce notas con temperamento igual que empleamos en el mundo occidental, es una apasionante aventura, no sólo en sus vertientes musical y matemática, sino también desde las perspectivas cultural, física, técnica y artesanal.
En el artículo de hoy explicaremos qué entiende un matemático por sistema igualmente temperado, conocimiento que nos permitirá calcular con facilidad la frecuencia de cualquier nota de nuestro sistema musical.
A estas alturas del cuento supongo que ya sabrás que nuestro sistema musical tiene doce notas, y no siete. Si no lo tienes claro, echa un vistazo a cualquier imagen de un piano y presta atención a esas teclas negras situadas estratégicamente entre las blancas.
También supongo que sabes que ese patrón de doce notas vuelve a repetirse, encontrando las mismas notas, una octava más agudas a la derecha o más graves a la izquierda. Y que la frecuencia de una nota una octava más aguda que otra es exactamente el doble de esta. Por ejemplo, si tenemos un LA a 440 Hz, el siguiente LA más agudo estará exactamente a una frecuencia de 880 Hz, mientras que el anterior, más grave, se situará en la mitad, 220 Hz.
Esta proporción 2:1 es la única que necesitamos para proseguir con los cálculos que realizaremos a continuación.
He dibujado un piano especial en el que he indicado la frecuencia de unos cuantas notas LA. Es un piano peculiar porque me he permitido poner al mismo nivel las teclas blancas y las negras, de modo que resulte más visual lo que pretendo explicar. He empleado la notación anglosajona a la hora de designar las notas porque me resultaba más cómodo en el gráfico, al ocupar menos espacio.
En vez de ser una visión típica con octavas de DO a DO, he marcado las notas LA como referencia visual, ya que conocemos la frecuencia de una de ellas: la nota LA por encima del DO central tiene una frecuencia exacta de 440 Hz, el sonido de referencia recomendado internacionalmente para la afinación de los instrumentos.
He denominado a esta nota A4 (LA 4), aunque quizás puedas preferir llamarla A3, si eres partidario del sistema franco-belga. Es simplemente una cuestión de elección personal.
Como ya sabemos la relación 2:1 entre octavas, he marcado también las notas A5 y A6, más agudas, y A3, más grave, con sus respectivas frecuencias, inmediatamente calculables multiplicando o dividiendo entre dos.
He colocado también, más pequeñas y en lápiz, el resto de las notas musicales entre A3 y A4. No lo he hecho en las demás octavas para no emborronar demasiado el gráfico.
Imagina que ese dibujo representa un eje de coordenadas en el que se representa la frecuencia de cada nota musical.
¿Es lineal esa representación? Obviamente, no. Si te fijas, la separación entre el A3 y el A4 es de 220 Hz, mientras que entre el A4 y el A5 es del doble, 440 Hz. A su vez, entre A5 y A6 nuevamente el doble, 880 Hz. Sin embargo, sobre el papel, hay la misma distancia entre A3 y A4, que entre A4 y A5 o A5 y A6.
Este tipo de series en las que no hay linealidad, sino proporción constante, se denominan, en matemáticas, progresiones geométricas. Para reducirlas al plano lineal recurrimos a los logaritmos. Gracias a ellos podemos representar linealmente magnitudes que varían exponencialmente. La imagen de las notas uniformemente espaciadas a lo largo de un piano no es más que una visión logarítmica de esta progresión geométrica.
Y lo bueno del asunto, y verdadera clave para comprender lo que es un sistema de temperamento igual, es que la frecuencia de cada una de esas 12 subdivisiones que hay entre medias, correspondientes a cada nota musical, también sigue una representación logarítmica.
Desde el punto de vista matemático, decir que un sistema de doce notas tiene temperamento igual no es otra cosa sino decir que la proporción entre una nota cualquiera y la siguiente (un semitono más alta) es siempre constante.
Hay un factor multiplicativo constante. Si somos capaces de descubrir ese número mágico estaremos en condiciones de poder calcular la frecuencia de cualquier nota.
Calculemos el número que sostiene a nuestro preciado sistema musical. Si A4 es 440 Hz, la siguiente nota, un semitono más alta, LA sostenido (o Si bemol, según prefieras), tendrá por frecuencia:
A su vez, la frecuencia de la nota siguiente, SI, será:
Después de B4 comienza la siguiente octava con C5:
Y así hasta llegar a A5, una octava más alta, doce semitonos, que A4:
Ahora bien, la frecuencia de A5 ya la conocemos, 880 Hz, doble de 440 Hz:
con lo que
Ya tenemos la razón buscada:
Podemos determinar la frecuencia de cualquier nota si conocemos la distancia d en semitonos que la separa de A4:
No es necesario referenciar siempre contra A4; nos sirve cualquier frecuencia conocida, siendo d, en este caso, la distancia en semitonos entre la buscada y la conocida:
Realicemos un ejercicio práctico. Vamos a calcular la frecuencia de MI 5, a una quinta justa por encima de A4. Si contamos, la separación en semitonos entre ambas notas es 7, de modo que:
¿Cuál es la frecuencia del DO central, que se halla nueve semitonos a la izquierda del LA 4? Es un ejemplo en el que d es una distancia negativa.
También podríamos haber resuelto este problema tomando como referencia A3 (220 Hz) y contando tres semitonos hacia delante:
Como vemos, el resultado es el mismo en ambos casos.
Visitaremos en más ocasiones el lado matemático de la música. ¿Sabías que algo que damos por obvio como que Do sostenido tiene la misma frecuencia que Re bemol, es debido a naturaleza igualmente temperada de nuestro sistema musical?
Te dejo pensándolo…
Javier Montero Gabarró
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