Hoy es el cumpleaños de tres amigos que tengo en Facebook. Felicidades a Ruth, Victoria y Rafa.
Qué coincidencia, tres cumpleaños en el mismo día… ¿Mucha casualidad? ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda? Sobre un total de 80 amigos, ¿cuál es la probabilidad de que, un día determinado, tres de ellos cumplan años?
Vamos a calcularlo. Partiremos de unos supuestos básicos que harán el cálculo más manejable:
1) Ignoraremos la existencia de años bisiestos, esto es, supondremos años de 365 días.
2) Supondremos que una persona puede nacer con igual probabilidad en cualquier día del año (algo que, interesantemente, no es cierto). Es decir, supondremos sucesos equiprobables.
Se puede resolver de manera inmediata aplicando las fórmulas de la distribución binomial o, dado que es un conjunto suficientemente amplio, de la distribución de Poisson. Pero aquí voy a describir una solución instructiva empleando técnicas de conteo básicas.
Los problemas de combinatoria resultan más sencillos recurriendo a abstracciones visuales. Supongamos mis ochenta amigos de Facebook sentados (por orden alfabético, por ejemplo) en una larga hilera de ochenta puestos. Cada uno dispone de una pizarra en la que va a apuntar su fecha de nacimiento (día y mes). ¿Cuántos arreglos posibles podrían darse?
Un ejemplo de arreglo sería el siguiente:
4 Enero – 24 Diciembre – 2 Abril – 31 Julio – 4 Agosto – 31 Julio – 5 Marzo………..- 3 Septiembre
Es decir, una lista con ochenta fechas, las cuales podrían repetirse cualquier número de veces.
Estamos colocando 365 fechas posibles en 80 sitios. Para saber si se trata de variaciones o combinaciones tenemos que determinar si el orden en que se muestre esta lista tiene significado o no. En este caso es obvio que es importante. No es el mismo arreglo el de arriba que este otro:
24 Diciembre – 4 Enero – 2 Abril – 3 Septiembre – 4 Agosto – 31 Julio – 5 Marzo………..- 31 Julio
Son los mismos valores que arriba, pero colocados de otra forma. El significado es diferente, pues recordemos que en cada puesto hay una persona en concreto, y no es lo mismo que cumpla años el 4 de enero que el 24 de diciembre.
Con todos los datos expuestos, concluimos que se trata de variaciones con repetición. El número total de arreglos posibles es:
Ahora viene la parte más complicada: deseamos saber cuántos de esos arreglos contienen exactamente tres pizarras con la fecha “2 Abril”.
De ese total, comencemos contabilizando aquellos en los que la fecha “2 Abril” esté en las tres primeras posiciones. Es decir:
2 Abril – 2 Abril – 2Abril – ___ – ___ – ___- ___ – …………….- ___
Nos quedan 77 sitios, puesto que los tres primeros ya los tenemos ocupados. ¿De cuántas formas podemos rellenar esos 77 puestos? Fijémonos que ahora no tenemos 365 fechas disponibles, sino 364, porque el 2 de abril no podemos volver a utilizarlo (si lo hiciéramos el total de fechas “2 Abril” ya no sería tres).
Se trata, entonces de:
Eso sólo son aquellas en las que “2 Abril” está en las tres primeras posiciones. Pero si ahora esos “2 Abril” los colocamos en otro lugar distinto volverán a aparecer otras tantas.
Entonces, debemos preguntarnos de cuántas maneras podemos colocar esa fecha dentro de los 80 sitios que tenemos.
Para responder a esta cuestión nos es útil cambiar nuestra representación visual.
Ahora supongamos que tenemos tres casillas (una por cada “2 Abril”) y sobre ella escribimos qué posición dentro de la fila ocuparía.
Por ejemplo, los tres colocados al comienzo, como en el ejemplo de arriba, sería:
1 – 2 – 3
Este otro,
79 – 5 – 13
Significaría que hay un “2 Abril” en la posición 79, otro en la 5 y otro en la 13.
Determinemos ahora de qué tipo de cuenta se trata:
¿Cuántos sitios tengo para colocar elementos? 3
¿Cuántos elementos pueden colocarse en esos sitios? 80
¿Puedo repetir esos elementos? No, no tendría sentido un arreglo 5 – 5 – 27, cada persona tiene una y sola una fecha.
¿El orden importa? Veamos, ¿es lo mismo o diferente 20 – 1 – 7 que 1 – 20 – 7?
Dar un 2 Abril a la persona 20, a la 1 y a la 7 es lo mismo que dárselo a la persona 1, a la 20 y a la 7. Se trata, entonces, de combinaciones en vez de variaciones:
Por lo tanto, el total de arreglos que contienen tres “2 Abril” es
La probabilidad buscada será ese número dividido entre el total de posibilidades que calculamos al principio, es decir:
¡Sumamente pequeña, ni siquiera un uno y medio por mil!
Javier Montero
Te felicito por tu blog, para mi es una referencia. Yo también soy polifacética pero tremendamente improductiva, para mejorarlo, una de mis tareas es leerte un poco siempre que puedo.
Acabo de leer este artículo, pero algo no me encaja. Me parece muy baja esta probabilidad. Si tengo 1000 personas y solo 365 días el año, la probabilidad debe ser mayor.
Creo que el razonamiento está incompleto. Has calculado la probabilidad de que tres de tus 80 amigos hallan nacido el 2 de abril. Pero ahora ¿no deberías multiplicar esa probabilidad por 365 días que tiene el año, si lo que quieres calcular es sólo la probabilidad de que tres fechas de nacimiento coincidan?. En ese caso la probabilidad sería de un 50% aproximadamente.
Muchísimas gracias, Mercedes, me alegro de que te guste el blog y de que compartamos esa navaja de doble filo que es el polifacetismo.
El fantasma de la falta de foco (o mejor dicho, la existencia de muchos) siempre está cerca del polifacético y, como consecuencia, la supuesta falta de productividad.
Es una elección personal, pero estoy absolutamente convencido de que, si realmente lo deseas (digo realmente) puedes canalizar toda tu energía y pasión en cualquier cosa que sea de tu interés durante el tiempo suficiente para lograr resultados destacables, eso que se conoce como ser productivo.
El polifacetismo es un don, pero es como una especie de caballo salvaje que debemos domar para que nos conduzca donde deseamos estar. Te animo a que compartas por aquí tus experiencias en este sentido, tanto si son positivas como si no.
Respecto al problema, observa que se trata de calcular la probabilidad en un día concreto y preestablecido, no la de un día cualquiera. Respecto a esta última, me temo que el cálculo exacto requeriría algo más que multiplicar mi resultado por 365, dado que se trata de sucesos que no son incompatibles entre sí.
Saludos y espero leerte de cuando en cuando!
Me sorprende y agradezco tu rápido comentario.
Tengo muchas ganas de domar ese caballo, y ya he puesto en práctica algunos de tus hábitos, como el de tener libretas en evernote, para tener más control de lo que hago.
En cuanto al problema tienes toda la razón, la próxima vez me pararé a reflexionar un poco más antes de escribir.
Calcular la probabilidad de que tres coincidan en un día determinado y como ya mencionas en tu artículo, resulta fácil utilizando la distribución binomial, B(80,1/365) y calculando la probabilidad para n=3; pero realmente me resultó muy ameno e interesante tu razonamiento utilizando la combinatoria.
Resolver el problema de la paradoja del cumpleaños pero con tres coincidencias en lugar de dos va a ser otro de mis focos por algún tiempo.
Muchas gracias.
Seguro que lo consigues. Eso sí, es un caballo que nunca se consigue domar del todo. Date por satisfecha si logras un buen equilibrio.
Ahora mismo Evernote es prácticamente la única herramienta que utilizo. Es tan flexible que puedes adaptarlo a cualquier metodología de trabajo con la gran ventaja de su agilidad y disponibilidad en cualquier plataforma. Tus notas viajan siempre contigo estés donde estés.
Me ha hecho ilusión que escribieras en este artículo, uno de los primeros que escribí hace ya mucho tiempo. Prácticamente ni me acordaba de su existencia.
Gracias por pasarte. Ya me irás contando si va mejorando tu productividad.
Saludos
Buenos días Javier.
En primer lugar muchas gracias por tu explicación.
Solo me surge una duda. Cuando escribes:
«Estamos colocando 365 fechas posibles en 80 sitios. Para saber si se trata de variaciones o combinaciones tenemos que determinar si el orden en que se muestre esta lista tiene significado o no. En este caso es obvio que es importante. No es el mismo arreglo el de arriba que este otro:
24 Diciembre – 4 Enero – 2 Abril – 3 Septiembre – 4 Agosto – 31 Julio – 5 Marzo………..- 31 Julio
Son los mismos valores que arriba, pero colocados de otra forma. El significado es diferente, pues recordemos que en cada puesto hay una persona en concreto, y no es lo mismo que cumpla años el 4 de enero que el 24 de diciembre.»
No veo la importancia del orden de los elementos.
En mi opinión lo que buscamos es la coincidencia de las fechas, por lo que no importa que sea el primero y el quinto o el cuarto y el duodécimo. Lo importante es la coincidencia independientemente de la ubicación.
Me podrías aclarar esta cuestión.
Un saludo.
Muy interesante, es más, estoy haciendo un trabajo sobre ello, pero tengo una duda. En tu blog, para 80 personas la probabilidad es muy pequeña, pero para que llegue al 100% (según la fórmula que brindaste) se necesitaría una gran cantidad de personas, eso me desconcierta. Me podrias ayudar?