Probabilidad de que un día en concreto se celebren tres cumpleaños

Hoy es el cumpleaños de tres amigos que tengo en Facebook. Felicidades a Ruth, Victoria y Rafa.

Qué coincidencia, tres cumpleaños en el mismo día… ¿Mucha casualidad? ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda? Sobre un total de 80 amigos, ¿cuál es la probabilidad de que, un día determinado, tres de ellos cumplan años?

Vamos a calcularlo. Partiremos de unos supuestos básicos que harán el cálculo más manejable:

1) Ignoraremos la existencia de años bisiestos, esto es, supondremos años de 365 días.

2) Supondremos que una persona puede nacer con igual probabilidad en cualquier día del año (algo que, interesantemente, no es cierto). Es decir, supondremos sucesos equiprobables.

Se puede resolver de manera inmediata aplicando las fórmulas de la distribución binomial o, dado que es un conjunto suficientemente amplio, de la distribución de Poisson. Pero aquí voy a describir una solución instructiva empleando técnicas de conteo básicas.

Los problemas de combinatoria resultan más sencillos recurriendo a abstracciones visuales. Supongamos mis ochenta amigos de Facebook sentados (por orden alfabético, por ejemplo) en una larga hilera de ochenta puestos. Cada uno dispone de una pizarra en la que va a apuntar su fecha de nacimiento (día y mes). ¿Cuántos arreglos posibles podrían darse?

Un ejemplo de arreglo sería el siguiente:

4 Enero – 24 Diciembre – 2 Abril – 31 Julio – 4 Agosto – 31 Julio – 5 Marzo………..- 3 Septiembre

Es decir, una lista con ochenta fechas, las cuales podrían repetirse cualquier número de veces.

Estamos colocando 365 fechas posibles en 80 sitios. Para saber si se trata de variaciones o combinaciones tenemos que determinar si el orden en que se muestre esta lista tiene significado o no. En este caso es obvio que es importante. No es el mismo arreglo el de arriba que este otro:

24 Diciembre – 4 Enero – 2 Abril – 3 Septiembre – 4 Agosto – 31 Julio – 5 Marzo………..- 31 Julio

Son los mismos valores que arriba, pero colocados de otra forma. El significado es diferente, pues recordemos que en cada puesto hay una persona en concreto, y no es lo mismo que cumpla años el 4 de enero que el 24 de diciembre.

Con todos los datos expuestos, concluimos que se trata de variaciones con repetición. El número total de arreglos posibles es:

Ahora viene la parte más complicada: deseamos saber cuántos de esos arreglos contienen exactamente tres pizarras con la fecha “2 Abril”.

De ese total, comencemos contabilizando aquellos en los que la fecha “2 Abril” esté en las tres primeras posiciones. Es decir:

2 Abril – 2 Abril – 2Abril – ___ – ___ – ___- ___ – …………….- ___

Nos quedan 77 sitios, puesto que los tres primeros ya los tenemos ocupados. ¿De cuántas formas podemos rellenar esos 77 puestos? Fijémonos que ahora no tenemos 365 fechas disponibles, sino 364, porque el 2 de abril no podemos volver a utilizarlo (si lo hiciéramos el total de fechas “2 Abril” ya no sería tres).

Se trata, entonces de:

Eso sólo son aquellas en las que “2 Abril” está en las tres primeras posiciones. Pero si ahora esos “2 Abril” los colocamos en otro lugar distinto volverán a aparecer otras tantas.

Entonces, debemos preguntarnos de cuántas maneras podemos colocar esa fecha dentro de los 80 sitios que tenemos.

Para responder a esta cuestión nos es útil cambiar nuestra representación visual.

Ahora supongamos que tenemos tres casillas (una por cada “2 Abril”) y sobre ella escribimos qué posición dentro de la fila ocuparía.

Por ejemplo, los tres colocados al comienzo, como en el ejemplo de arriba, sería:

1 – 2 – 3

Este otro,

79 – 5 – 13

Significaría que hay un “2 Abril” en la posición 79, otro en la 5 y otro en la 13.

Determinemos ahora de qué tipo de cuenta se trata:

¿Cuántos sitios tengo para colocar elementos? 3

¿Cuántos elementos pueden colocarse en esos sitios? 80

¿Puedo repetir esos elementos? No, no tendría sentido un arreglo 5 – 5 – 27, cada persona tiene una y sola una fecha.

¿El orden importa? Veamos, ¿es lo mismo o diferente 20 – 1 – 7 que 1 – 20 – 7?

Dar un 2 Abril a la persona 20, a la 1 y a la 7 es lo mismo que dárselo a la persona 1, a la 20 y a la 7. Se trata, entonces, de combinaciones en vez de variaciones:

Por lo tanto, el total de arreglos que contienen tres “2 Abril” es

La probabilidad buscada será ese número dividido entre el total de posibilidades que calculamos al principio, es decir:

¡Sumamente pequeña, ni siquiera un uno y medio por mil!

Javier Montero